Diagrama de Nyquist: ¿Qué es? (y cómo dibujar uno)

¿Qué es el Diagrama de Nyquist?

Un gráfico de Nyquist (o diagrama de Nyquist) es un gráfico de respuesta en frecuencia utilizado en la ingeniería de control y el procesamiento de señales. Los gráficos de Nyquist suelen utilizarse para evaluar la estabilidad de un sistema con retroalimentación. En coordenadas cartesianas, la parte real de la función de transferencia se representa en el eje X y la parte imaginaria en el eje Y. La frecuencia se introduce como parámetro, lo que da lugar a un gráfico basado en la frecuencia. El mismo gráfico de Nyquist puede describirse utilizando coordenadas polares, donde la ganancia de la función de transferencia es la coordenada radial, y la fase de la función de transferencia es la coordenada angular correspondiente.

El análisis de estabilidad de un sistema de control retroalimentado se basa en la identificación de la ubicación de las raíces de la ecuación característica en el plano s. El sistema es estable si las raíces están en el lado izquierdo del plano s. La estabilidad relativa de un sistema puede determinarse mediante métodos de respuesta en frecuencia, como el diagrama de Nyquist y el diagrama de Bode.

El criterio de estabilidad de Nyquist se utiliza para identificar la presencia de raíces de una ecuación característica en una región específica del plano s. Para entender un gráfico de Nyquist, primero tenemos que familiarizarnos con cierta terminología. Nótese que una trayectoria cerrada en un plano complejo se llama contorno.

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Diagrama de Nyquist o contorno de Nyquist

El contorno de Nyquist es un contorno cerrado en el plano s que encierra completamente la mitad derecha del plano s. Para encerrar completamente la mitad derecha del plano s, se dibuja un gran semicírculo cuyo diámetro está en el eje jω y cuyo centro es el origen. El radio del semicírculo se trata como un cerco de Nyquist.

Encerramiento de Nyquist

Se dice que un punto está rodeado por un contorno si se encuentra dentro del mismo.

Mapa de Nyquist

El proceso por el que un punto del plano s se transforma en un punto del plano F(s) se llama mapeo y F(s) se llama función de mapeo.

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Cómo dibujar un diagrama de Nyquist

Un gráfico de Nyquist se puede dibujar en los siguientes pasos:

Paso 1 – Comprueba los polos de G(s) H(s) del eje jω, incluido el del origen.
Paso 2 – Seleccionar el contorno de Nyquist apropiado – a) Incluir toda la mitad derecha del plano s dibujando un semicírculo de radio R con R tendiendo a infinito.
Paso 3 – Identificar los segmentos individuales del contorno por referencia a la trayectoria de Nyquist.
Paso 4 – Realice el mapeo segmento por segmento sustituyendo la ecuación del segmento respectivo en la función de mapeo. De hecho, tenemos que dibujar las gráficas polares de los respectivos segmentos.
Paso 5 – El mapeo del segmento suele ser una imagen especular del mapeo de la trayectoria respectiva del eje imaginario +ve.
Paso 6 – La trayectoria semicircular que cubre la mitad derecha del plano s suele convertirse en un punto del plano G(s) H(s).
Paso 7 – Interconecte todos los mapeos de los diferentes segmentos para obtener el diagrama de Nyquist requerido.
Paso 8 – Observa el número de círculos en el sentido de las agujas del reloj alrededor de (-1, 0) y decide la estabilidad por N = Z – P

es la función de transferencia en bucle abierto (O.L.T.F.)

N(s) = 0 es el cero de lazo abierto y D(s) es el polo de lazo abierto.
Desde el punto de vista de la estabilidad, ningún polo de bucle cerrado debe estar en el lado derecho del plano s. La ecuación característica 1 + G(s) H(s) = 0 indica los polos del bucle cerrado.

Como 1 + G(s) H(s) = 0, q(s) también debe ser cero.

Por lo tanto, desde el punto de vista de la estabilidad, los ceros de q(s) no deben estar en la RHP del plano s.
Para definir la estabilidad, consideramos todo el RHP (Right-Hand Plane). Suponemos un semicírculo que engloba todos los puntos de la RHP considerando que el radio del semicírculo R tiende a infinito. [R → ∞].

El primer paso para entender la aplicación del criterio de Nyquist en relación con la determinación de la estabilidad de los sistemas de control es el mapeo desde el plano s al plano G(s) H(s). Se considera que s es una variable compleja independiente y que el valor correspondiente de G(s) H(s) es la variable dependiente trazada en otro plano complejo llamado plano G(s) H(s).

Así, para cada punto del plano s, existe un punto correspondiente en el plano G(s) H(s). Durante el proceso de mapeo, la variable independiente s se modifica a lo largo de una trayectoria especificada en el plano s – y se unen los puntos correspondientes en el plano G(s)H(s). Esto completa el proceso de mapeo del plano s al plano G(s)H(s).

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El criterio de estabilidad de Nyquist establece que N = Z – P. Donde N es el número total de círculos alrededor del origen, P es el número total de polos y Z es el número total de ceros.
Caso 1: N = 0 (no hay encierro), por lo que Z = P = 0 y Z = P.
Si N = 0, P debe ser cero para que el sistema sea estable.
Caso 2: N > 0 (en el sentido de las agujas del reloj), por lo que P = 0, Z ≠0 y Z > P.
En ambos casos, el sistema es inestable.
Caso 3: N < 0 (círculo de sentido contrario), por lo que Z = 0, P ≠0 y P > Z.
El sistema es estable.

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